【数学与统计及交叉学科前沿论坛------高端学术讲座第182场】

报告题目：连续性方法与热点猜想专题

报 告 人：姚若飞 华南理工大学

报告时间：2026年1月17日星期六14:00-17:30，1月18日星期日8:30-12:00，1月18日星期日14:00-17:30, 1月19日星期一14:00-17:30

报告地点：良乡校区数统楼207

报告摘要：热点猜想（Hot Spots Conjecture）是谱几何与偏微分方程领域中的一个经典未解问题，起源可追溯至 Rauch 于 1974 年提出的相关问题。其核心在于刻画 Neumann Laplace 算子第二特征函数的最大值与最小值是否只能出现在区域边界上。该猜想提出至今已逾半个世纪，在此期间持续吸引着几何分析与偏微分方程领域研究者的关注。该问题不仅与区域的几何形状密切相关，也与解的定性性质、对称性分析以及特征值问题中的精细结构紧密相连。本系列研讨班将围绕热点猜想展开，重点介绍连续性方法在该问题中的思想与应用，并结合若干典型几何情形，对相关结果与研究进展进行系统梳理。主要内容包括：

1. 热点猜想的历史渊源与连续性方法概述

回顾热点猜想的提出背景、基本表述及其在谱几何中的地位，介绍连续性方法的基本思想及其在特征值与特征函数问题中的应用框架。

2. 解的单调性与热点猜想

讨论 Neumann 特征函数的单调性、极值点结构及其与区域几何之间的关系，说明单调性分析在验证热点猜想中的关键作用。

3. 对称区域上的热点猜想

研究具有对称结构的平面区域（如轴对称或双轴对称区域）上的热点猜想，阐述对称性如何简化问题并导致正面结果。

4. 三角形区域上的热点猜想

以三角形为代表，介绍热点猜想在非光滑边界情形下的研究思路、主要困难及已有进展，特别是连续性方法在其中的应用与局限。

本研讨班旨在为对谱几何、椭圆型偏微分方程及其几何应用感兴趣的师生提供一个系统了解热点猜想及相关方法的交流平台。

报告人简介：姚若飞博士现为华南理工大学副教授，博士毕业于西安交通大学，随后在中南大学从事博士后研究（合作导师为桂长峰教授）。他主要从事偏微分方程理论研究，重点关注热点猜想及解的对称性等定性性质问题，已在 Calculus of Variations and Partial Differential Equations、Inventiones Mathematicae、Journal of Differential Equations、Mathematische Annalen、Nonlinearity、SIAM Journal on Mathematical Analysis 等国际期刊发表学术论文 19 篇。